第1811章 哥，你什么时候来的？ （2 / 2）
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“计算复杂度方面，”维杰翻动着幻灯片，试图找到相应的分析页面，“理论上是O(n2)，但实际实现中我们采用了近似算法……”
“近似算法的误差界是多少？”曹鹏追问。
会议室安静了几秒。瑞迪抬起头，目光在两人之间扫过，嘴角似乎微微上扬了一毫米—，这是他对学生间高质量辩论的认可。
“这……我们还在分析。”维杰最终承认。
“那么在你的实验结果中，至少应该标注‘使用近似算法’的说明。”曹鹏的语气没有得意，只是陈述事实，“否则对比是不公平的。”
维杰点头坐下时，曹鹏对他眨了眨眼，这是两人之间的默契，辩论归辩论，不影响午饭时一起吐槽系里新出台的服务器使用规定。
瑞迪教授朝曹鹏点头，“上周我们讨论了SIFT特征在动态场景中的漂移问题。曹鹏提出了一个新框架的初步想法。今天，请他详细展开。”
曹鹏起身，在靠近白板的位置坐下，他没用投影，有些思路，手写更能体现思考的脉络。
“谢谢教授。”他转向小组，目光扫过每个人的脸。
维杰抱着手臂，眉头微皱，艾米丽已打开笔记本，二年级博士生汤姆眼神放空，大概还没从昨晚的Dota战中回神，而博士后捷尔任斯基，则冲曹鹏眨眨眼。
“我们现有的图像分类流程：特征提取、编码、池化、分类器。”曹鹏画了四个方框，“问题在于，手工设计的特征，比如SIFT....在类别增多、视角变化剧烈时，区分度下降。而编码阶段用的K-means或稀疏编码，本质是假设特征服从单一分布。”
说到这儿，他等等，看是否有人提问。维杰动了动嘴唇，但最终选择放弃。
“我的提议是，放弃手工特征，直接从像素学起。”曹鹏在“特征提取”框上打了个叉，“但不是用传统的全连接神经网络，参数量太大，且忽略图像的空间局部性。我设计了一个多尺度稀疏自编码器结构。”
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他又在白板上画出三层结构，第一层是小感受野的卷积核，提取边缘纹理，第二层卷积核变大，整合局部结构，第三层是全连接层，但施加L1稀疏约束。每一层都用无监督预训练初始化，再用反向传播微调。
“关键在这里，”曹鹏在第三层旁写下公式，“我们不在像素空间做稀疏，而是在特征空间做。将每张图的特征激活视为一个信号，用字典学习找到过完备基，然后求解稀疏系数。”
“这样，分类问题转化为，在字典空间中找到最具判别力的稀疏模式。”
说着，写下一串数学符号。然后转向实际问题，“我在Caltech101数据集上试了初步版本。64×64的图，三层结构，第一层用6×6卷积核，步长2，得到16个特征图；第二层……”
“等等。”维杰终于举手，语气带着质疑，“曹，你算过时间复杂度吗？光是第一层卷积，假设输入是64×64的RGB图，6×6核，步长2，输出16个特征图，一次前向传播就需要多少乘加操作？这还没算上稀疏编码的迭代优化。你的模型能在合理时间内完成训练吗？”
问题尖锐，但曹鹏预料到了。他保持平静，甚至微笑。
“好问题。我算过。”他走到白板另一侧，快速写下算式，“第一层卷积，输入64×64×3，核6×6×3×16，步长2，输出特征图尺寸30×30×16。乘加次数约：(6×6×3)×(30×30)×16 = 1,555,200次。对于Caltech-101的9144张图，一个epoch是142亿次操作。在双Xeon 3.0GHz的服务器上，用高度优化的C++和SSE指令，一个epoch大约需要47分钟。”
数字精确到个位。会议室安静了。
“但这只是朴素实现。”曹鹏继续，“我做了三处优化，一，将卷积转化为矩阵乘法，用Strassen算法加速，二，利用特征图之间的独立性，并行计算。三，稀疏编码阶段，我用了改进的迭代收缩阈值算法，将收敛速度提升了40%。最终，完整训练一轮的时间是28分钟，在可接受范围内。”
维杰盯着算式，手指无意识敲着桌面。几秒后，他抬头，“准确率呢？你说了这么多计算，但分类效果比SIFT+SPM的空间金字塔匹配好多少？”
“Caltech-101，SIFT+SPM的最好结果是78.3%。”曹鹏抽出打印好的图表，贴在白板上，“我的方法，在相同训练、测试划分下，目前是81.7%。错误分析显示，提升主要来自动物类和交通工具类。”
“这些类别视角变化大，手工特征容易失效。”
3.4个百分点的提升，在视觉领域已算显着。艾米丽轻声赞叹，汤姆也坐直了身体，只有捷尔任斯基，小声的吹了个口哨。
但维杰还没放弃，“你的模型参数量多大？过拟合风险呢？”
“参数量，卷积层约1.7万，全连接层约12万，总计不到14万。作为对比，一个三层的全连接神经网络，输入是64×64×3=维，隐层若取500单元，参数量就超过600万。”
曹鹏从容应对，“至于过拟合，我用到了数据增强，平移、旋转、缩放、Dropout，以及在损失函数中加入权重衰减。五折交叉验证的方差在0.8%以内。”
滴水不漏。维杰靠回椅背，终于露出一丝苦笑，“行吧，看来你都考虑到了。”
“不，还有问题。”曹鹏忽然说。所有人都看向他。他指向白板上的一处，“稀疏编码的字典学习，我目前用的是在线梯度下降，但初始化敏感。我试了KSVD和MOD，效果都不稳定。”
“这是我今天想请教大家的：有没有更好的字典初始化策略？或者，我们是否该换一种思路，不学固定的字典，而学一个能生成字典的函数？”
问题抛回给小组。一直沉默的瑞迪教授此时开口，声音里带着赞许，“很棒的思考，曹。字典初始化……让我想到非线性降维中的局部线性嵌入。或许可以将LLE的邻域重构思想迁移过来，用局部样本的线性组合初始化字典原子。”
讨论就此转向更深的技术细节。维杰出用拉普拉斯特征映射约束字典原子的平滑性，艾米丽建议在损失函数中加入判别性项。汤姆贡献了一个CUDA加速的idea。虽然实现细节有待商榷。
曹鹏听着，不时点头，在笔记本上记录。辩论时的锋芒收起了，此刻他是海绵，吸收每一点有用的灵感。当艾米丽提出一个巧妙的正则化方法时，他眼睛一亮，迅速推演了几步，抬头说，“这个可以和我之前想的流形约束结合。”
“如果我们把特征空间视为黎曼流形，你的正则化项其实就是对流形曲率的惩罚。艾米丽，会后能详细聊聊吗？”
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艾米丽笑着点头。
维杰插话，“曹，你总能把不同领域的东西缝在一起。上次是稀疏编码和视觉注意力，这次是流形几何。你的脑子怎么长的？”
“多读书。”曹鹏认真回答，“《微分几何基础》和《压缩感知理论》一起读，有时候会在凌晨三点产生奇怪的联想。”
众人都笑了。
瑞迪教授看着弟子们，眼神欣慰。他喜欢这种氛围，严谨但不死板，竞争却又合作。
曹鹏尤其让他惊喜，不仅天赋惊人，更难得的是懂得如何将锋芒包裹在谦逊之下，在扞卫自己观点时不伤及同僚自尊，在吸收他人意见时不忘真诚致谢。
会议在十一点半结束。曹鹏被围住，回答关于代码实现的问题。他耐心解释，答应晚点把优化后的卷积核计算代码分享给大家。
出门时，维杰走到他身边，拍拍他肩，“今天又被你碾压了，曹。不过那个字典初始化的问题，我昨晚其实有点想法……”
“一起吃午饭？我想听听。”曹鹏自然而然地接话，仿佛刚才的激烈交锋从未发生。
两人并肩走向食堂。
窗外，匹兹堡的天空湛蓝如洗，几朵白云停在卡内基梅隆大学红色屋顶的上空，像在等待什么。
曹鹏想着下午要跑的对比实验，脑中已开始规划代码结构。但此刻，他更愿意听维杰说话。谁知道呢？也许“有点想法”，能点亮下一盏灯。
走在橡树掩映的小径上，他忽然想起昨夜笔记本边缘写下的一句自语，“算法如棋，妙手偶得，但妙手之前，是十年厚积。”
他笑了笑，推开了食堂的门。冷气混合着意面酱的香气扑面而来，而他的思绪，已飘向下午将要书写的、那些无人见过的代码行。
只不过，当看到一个人高马大，正嘬着一杯可乐，迎面的朝自己走来的圆寸脑袋的时候，那笑容忽然变得激动起来。
“哥，你什么时候来的？”